В 2003 году в старшей группе детского сада N 18 г. Лыткарино под Москвой было введено новшество. Из выпускной группы принесли три банки с водой, на которых были наклеены тетрадные листы в клеточку с рядами цифр разного цвета и разной формы. Единицы – правые цифры – были как почтовые индексы, а левые цифры – десятки – в виде обычном, от руки написанные.

Банки на 5 литров воды прозрачные прямоугольные. Через них и через воду цветные числа удобно читаются, считываются. С наружной стороны на листах снизу вверх написаны в квадратах рукописные заглавные буквы в три столбца снизу вверх: от А до И, 2-ой от Й до Т и в 3-ем от У до Ь знака, заглавные Э, Ю, Я – в последнем 4-м ряду вверх.

Еще осенью 2002 г. дети этой группы были хорошо знакомы с алфавитом, обсуждая места расположения букв в малых таблицах, где были и строчные рукописные буквы, и заглавные, и все строчные печатные. О цифрах и буквах одного цвета дети знали уже в начале 2002 г., знакомясь с картиной “Аквариум”, где была нарисована и вода, и много рыбок разноцветных, и улитки, и камни, и башня, и растения самые разные. Дети узнавали места букв, находя их по разным приметам. Они находили первую букву своего имени и своих друзей.

Теперь же все известное им было размещено необычно, по-новому. Если смотреть через банку на числа, то справа видны числа первые, а за ними снаружи буквы от А до И. Чуть в стороне 2-ой ряд чисел от 11 до 20 (написаны как индексы) и 3-ий ряд чисел от 21-ой до 30 (также написаны, как индексы). Чуть левее еще три числа – 31, 32 и 33 снизу вверх. Лист с большими клетками и видны уголки каждого квадрата и в них по 2 цифры.

Между числами 32 и смежными с ним 31 и 33 была оставлена полоска – межа – размером в одну клетку, которая шла между всеми числами на одном уровне, отделяя 2-е число в рядах от 1-ого и 3-его. Межи разделяли все числа. Находясь и над, и под ними, были и над числами с индексными нулями, почтовыми печатными.

Если все левые цифры в каждом ряду были одного цвета (4 цвета), то каждая почтовая имела свой цвет и на одной горизонтали они по цвету не различались. Всего было 10 цветных цифр на каждой вертикали и 10 цветных горизонталей.

Надеюсь, что я смогла понятно описать вид всей информационной таблицы чисел и ее сетку. Между вертикальными рядами был сделан интервал в 8 полос, или в два больших квадрата того же размера, что и для чисел. Между межами образовалась полоса, на которой размещались места чисел. Часть полосы между числами называлась мостиком от одного к другому.

Для достоверности можно провести линии на высоте верхних и нижних углов квадратов и назвать их перилами мостиков. Можно уложить планки от числа до числа по десять штук, чтобы глаз получил опору для взгляда сверху на мост. Планки делаются так. Одна спичка делится ровно на 4 части, и каждая часть вдоль пополам.

Щепочки наклеиваются с добавлением еще двух к 8-ми. Между числами 10 уровня (“круглыми”) строятся два моста: от 10 до 20 и от 20 до 30. Десять планок можно расцветить цветами фломастеров.

Название рядов 2-ой и 3-ий оправданы верхними цифрами рядов, как и 1-ый. Нижние их цифры тоже оправдывают эти названия: 01 – первый, один и один – 11 – второй, два и один – 21 – третий. Внизу через межу можно подписать I, II, III и назвать их цифрами. Следующий укороченный ряд назовется 4-ым. Появляется вопрос о записи цифр на верхнем квадрате 4-го ряда. Ответ дети узнают дома от родителей. Потом прорисуют перила мостика – третьего к числу 40 (написаны как индекс), и узнают, как по-римски писать четвертый ряд и где на циферблате часов они все десять нарисованы. Счет планок трех мостов дает известное число: от 40 до 10-ти.

Когда в банке заливают водой 1-ый уровень, то под водой могли бы оказаться три мостика, 30 планок. Мостики можно нарисовать и выше – на 3-м или 5-ом уровнях цветными фломастерами по 10 штрихов. После этого никому нет нужды пересчитывать планки. Уровни можно различать и как верхние, и как нижние равные. Обосновать можно подсчетом числа гласных до середины сетки чисел. Окажется и там, и там по пять гласных: снизу – А, У, Э, Ю, Я; сверху – Ы, Е, Ё, О, И. Буква О на шестом уровне – она надводная, наполовину выше подводной от 5 уровня.

Смежную полосу над числом 5 и другими с пятеркой можно всю накрасить цветом желто-зеленым. Когда нальем банку водой до середины, тогда легко наводнять уровнем воды и остальные уровни (наклоном банки). А может быть для этого хватит воды и до 3-его уровня. Детям старшей группы теперь 5 лет, а не 4 года, и даже 6-ой год жизни. Такое сопоставление имен чисел привлечет их внимание в разговоре о линии на середине сетки чисел.

Можно начать разговор о возрасте, который отмечен числами 1-го ряда.

Как назвать год жизни через 10 лет после рождения (10-летний, 10-зимний)? У кого брат или сестра не старше 10 лет? Где это у нас записано (в 1-ом ряду)? Где записан старший возраст? Где записан младший возраст? Записан ли у нас возраст родителей? А возраст других членов семьи? Где?

Прошло несколько недель. Может быть открыта еще одна область интересов. Если одному человеку 35 лет, а другому 29, то какова разница в летах? Мы видим, что 35 стоит в 4-ом ряду, а 29 – в 3-ем. Между ними один мост. Из 4 ряда вычитаем 3 ряда, остается один 1-ый ряд. Ответ: в 1-ом ряду. По горизонтали от 35-ти идем до 5-ти. Между 9 и 5-ю 4 года разницы. От 10 делаем 4 шага до 6-ти. Это разница между годами 35 и 29. Второй вариант: 1-му 45 лет, а второму – 29. Какова разница в летах? Если пройти по мостам 50–40–30, т. е. от ряда 5-го к 3-ему, то ответ искать во 2-ом ряду. Тогда от 20 надо пройти 4 шага до 16-ти. Обратный ход: 16 – интервал между годами двух людей. От 16 до 45 лет надо пройти 29 шагов. Проверяем: от 16 к 20 – 4 года. От 20–от 30–от 40-50 проходим 2 моста, т. е. 20 шагов. Всего 24 шага. И еще 5 от 50 до 45-ти. Значит, 24 вместе с 5-тью дают 29 лет.

Наша таблица и правила, которые мы проговорили дает верное направление поиска и верные ответы. На этих примерах мы убедились, что существует алгоритм невычислительных процессов. Эти решения демонстрируют алгоритмическую природу десятичной системы счисления, позволяющей свести операции над числами к операциям над отдельными цифрами этих чисел. Метод решения – последовательное испытание претендентов на очередное место в ряду этой последовательности. Здесь упорядочен массив номеров по убыванию всех “имен цифр” (элементов). Основное правило обращения с такими таблицами: в любой ее ячейке (квадрате) может помещаться только запись одного элемента (журнал “Математика в школе” N 5 за 1976 г., стр. 73). Наша информационная сетка чисел позволила, действуя в прямом и обратном направлениях, не ошибаясь находить ответы по алгоритму и правилам, которые выговаривают дети. Правила наблюдения за ходами перемещения они узнали до знакомства с сеткой чисел в общей детсадовской работе в кругу детей.

Приходя утром в группу, они слышали один вопрос: “Сколько нас сегодня всего?” Они выстраивались в круг, и, не пересчитываясь, называли число больше 10, т. к. знали, что их почти 20 человек по списку. Например говорили: “11, 12, 13”. Воспитательница предлагала проверить догадку Кости – “12”. Для этого надо было пересчитаться обратным счетом от 12 до одного. Костя говорил: “Передо мной 11-й”, смотря вправо на соседа. Стоявший рядом продолжал: “Передо мной 10-й”. Услышавший это говорил: “Передо мной 9-й” и т. д. И заканчивалось: “И где 1-ый?” Оказывается, он опоздал и сейчас за дверью! Повторялся вопрос ко всем: “И сколько же нас сейчас всего?” Возгласы детей: “11!” Тогда начинается счет со сказавшего: “Передо мной 10-й” и т. д. Счет идет вправо до того, кто говорит: “Передо мной – 11-й, а я 1-й!” И 11-й громко сообщает: “Нас всего 11!”

Введение в речь детей слова “всего”, называющего, указывающего, всеохватывающего тех, кто в кругу, по сути, разъясняло смысл речи: “имеющие здесь место – все!” Понятно, что это занятие по действию в ситуации нахождения имени для всех “здесь и теперь” – имя числа вслух для всех или обо всех.

Активное введение в речь местоимений и имен чисел позволяет детям расширить сферу вопросов в диалогах. И точность ответов по сетке чисел становится для них устойчивой манерой (например: 5 надводное число 46 и т. п.). Необходима еще одна ориентация среди чисел: по оценке их “чёт и нечет” (Е.Е. Шулешко говорил: “НЕЧЕТ”, без Ё, с ударением на 1-м слоге. – О. Пастюк). Как их ввести в разговор детей? Надо договориться о новой игре в круге. Называется она: “Найдем глазами друг друга”. Когда взрослый видит, что образовалось 4-5 пар, он, зная, что сегодня в кругу стоит четное число играющих, кого-то без пары просит стать в центр круга в качестве наблюдающего. Он должен отметить те пары, которые уже есть, называя их “четными”, сосчитать, сколько их в кругу. Маша замечает пару и вслух громко произносит: “Чёт Настя и Марина, чёт – Ваня и Сережа и т. д., а Ира – нечет, без пары”. Машу спрашивают, кто она. Ей помогают назвать и себя нечет. Вот из двух нечетов и получается 8-я пара – “чёт”.

Вопрос ко всем: “Сколько чётных пар в кругу?” Кто правильно услышал разговор, повторяют: “8 пар чётных”. Вопрос: “А сколько всего детей здесь стоит?” – 16 детей. Воспитательница предлагает пересчитаться как чёты и нечеты.

Дети считают: “1 – нечет, 2 – чёт, 3 – нечет, 4 – чёт и т. д. до 16-го. К детям новый вопрос: “Где записано сколько нас?” Ответ: “Запись числом 16 во втором ряду”. Вопрос детям: “А сколько пар можно прочесть во втором ряду?” – Пауза. Затем кто-то говорит, что 5-ть, а кто-то, что 8-мь. Взрослый спрашивает: “Кто хочет для себя нарисовать сетку чисел?” Он договаривается с желающими, когда начнется эта работа.

Из подготовительной группы приходят четверо “специалистов” по рисованию сетки чисел. Они приносят копейки. Дети рассматривают монеты. Гости рассказывают, для чего копейка нужна каждому и как найти места для квадратов. Одна рука держит копейку, а другая отмечает углы квадрата. В его центре ставится красная точечка в месте, где пересеклись две линии. Следующее место на том же уровне через два квадрата или 8 столбиков.

Как мы знаем, работать двуручно важно для грамотного выполнения физического движения. Параллельно, одновременно этой работе с копейкой дети учатся набирать петли на 2 спицы.

Разъяснения от взрослых выстраиваются в присловье к движениям рук.

Оно указывает на группировку пальцев в нужном порядке и на направление движения кисти и локтя, когда вверх-вниз, когда влево-вправо. Можно прочесть сказку “Дудочка и кувшинчик” В. Катаева. В ней рассказывается о пользе присловья в деле. Народная мудрость такова: “Одну ягодку беру. На другую смотрю. Третью примечаю. Четвертая мерещится”. Когда рисующий говорит: “Правый верхний уголок, левый верхний уголок, а теперь нижний левый и правый нижний и ставлю точку в первом (2, 3-м, 4-м) квадрате”, – он помогает себе этим присловьем. “Я рисую квадраты” – это речевой акт, именующий всю ситуацию. Это акт номинации роли действующего лица. Тогда есть и игровая деятельность. Предметы речи связываются по их пространственной и временной смежности в новые связи слов.

Вместе с тем, разговорная речь взрослых будет менее усеченной и более осмысленной, имея в виду обнаружение потенциальных возможностей собственной речи детей. И главное, мы услышим новые вопросы и новые объяснения своих мнений от разных наблюдателей, разных участников деловых обсуждений. Ради согласия в своей малой группе дети примут в дело любую выдумку названия для группы и любое проговаривание впечатления (мнения) от услышанного. Я специально прописывала подробно речь детей и взрослых, чтобы она также звучала на практике, в работе, на занятиях, без чего не случится понимания некоторыми детьми происходящего вокруг них движения.

Опишу использование детьми своего образовательного ресурса (опыта) и нарабатываемого детьми педагогического потенциала. Он может сложиться только из собственных наблюдений при публичных встречах. Потенциалом следует считать накопленную индивидуальную совокупность качеств наблюдателя как его “собственную хитрость”. Обнаруживается это, когда надо выбрать себе роль в общении двух групп в диалоге по поводу картины, которую надо узнать общими усилиями. Иначе говоря, стать собеседниками в общем кругу общения.

На 8-м году жизни, в первый школьный год, дети хотят и готовы быть учащими ровесниками, делясь и обнаруживая свои знания и умения. Это обнаруживается и в заинтересованном отношении к текстам рукописным и книжным. Затем желание стать собеседником проявится в любознательности к разным сферам жизни. В это время складывается собственная речь.

На 6-м году жизни собственные речи детей опираются на уже сложившуюся личностную позицию, которая удерживается благодаря неформальному выбору и сохранению с некоторыми детьми определенной коммуникативной дистанции на протяжении не одного месяца.

Взрослые организуют процесс “ситуатизации” диалогов. Они могут сопроводить речь детей своими репликами, активизируя отношение к предмету общего обсуждения. Их речь подхватывают голоса тех, кто сложит общепринятое в складывающейся ситуации. Эти слушащие и слышащие тему разговора присоединяются к известным по симпатиям говорящим. Образуются устойчивые группировки собеседников на заданную общепризнанную тему. Кто-то в группе станет “почемучками”, кто-то как постоянный слушатель станет рассказчиком, пересказывающим ответы других, давая им свое понимание-объяснение, и будут еще те, кто хочет своими действиями поддерживать беседу по не очень понятной картине. Взрослым нетрудно обнаружить не в своей группе детей с разной инициативой и сравнить со своими детьми (т. е. им известными в разные годы). Обсуждение вслух таких сопоставлений на семинарах и является выявлением педагогического опыта в особых условиях каждой воспитательницы и обменом вслух этим опытом.

Пришло время, когда у каждого в группе есть своя сетка чисел. В ней отмечены мосты-интервалы между рядами по собственному выбору, например по разным нижним уровням. Обсудим новое задание.

Задаемся общим замыслом. От места 36 пройти вправо до какого-то числа в 1-м ряду. При этом шагать по мосту не по 10 шагов, а по 9-ть. Поскольку дети знают слово “все” по его смыслу, то можно провести ходока от 6-го уровня 4 ряда в 3-й ряд не на этот же уровень, а на какой-то другой. С помощью уровня воды в банке отмечается 6-1 уровень, над числом 33 читается 36, четное. Некоторые дети подсказывают, что надо залить межу до 7 уровня. Другие говорят о меже над 7-м уровнем. Они объясняют, что мы не дошли до квадрата по условию задания и в 3-м ряду надо сменить уровень на один шаг вверх, включить 7-й уровень и залить его.

Возникает альтернатива: заливать межу нижнего числа 35 и 25, т. е. 5 уровень. Ведь известно, что если из большего четного удалять меньшее нечетное, то останется нечетное. Но какое из двух уровней надо считать верным. Из двух путей назад в возрасте к 36 один путь верный. Идем от 7-го в 3 ряду: 8-й, 9-й, 10-й, а затем переход в 4-й ряд: 31–36-й. Шесть шагов по 4-му и 3 шага по 3-му ряду, всего 9 шагов. Если идти от 5-го к 7-му, то еще 2 шага, т. е. больше 10, 11-ть шагов. Верное движение от 6-го к 7-му уровню, к числу 27.

Теперь от 27 квадрата через 9 шагов мы не доходим до 17, значит после 17-го идем вверх к 8 уровню, к числу 18. От числа 18 после 9-ти шагов идем после 8-го уровня к 9-му уровню в 1-м ряду. Работа и обсуждение сопровождаются записью на доске (шрифт, как индекс): 36–27–18–09. Обратный путь записывается иначе: 09 (19)18–(28)27–(37)36. Прямой и обратный – пути разные: 36–(26)27–(17)18–(08)09. Как назвать разные пути? Неизвестно. Если на обратном пути сделать еще один переход, то мы окажемся в подводном месте (мире) – 45. Когда на единицу уменьшаются печатные единицы, то рукописные увеличиваются на 1-цу (единицу) до 4-х. Вместе обе цифры указывают на 5-й ряд в подводном мире. Дети спросят, на каком месте на дне мы окажемся через три перехода. Ответ: 45–54, 54–63, 63–72, 72–81, т. е. 9-й ряд. Теперь мы знаем правило спуска: спускаться не торопясь. Запись знака числа двойная: разная для левой и правой цифры. Не забываем, что снаружи на тех же местах стоят буквы.

У нас записалась последовательность чисел от 09 до 81 и от 36 до 09. Есть ли на этих путях такие числа, которые находятся на середине пути? Середина означает, что от нее в разные стороны идут одинаковые по длине, по расстоянию дороги с разными концами числами. Запишем 3 числа из нее:

27 – 18 – 09

± 9 9 ±
36 0 18

18 00 00

В середине четное из двух половин – по 9-ть. Запишем обе половины в разные стороны. Соединим по два нечета: 27 и 9 слева, 09 и 9 – справа. Их соединение даст известные числа: 36 и 18, а посередине будет нуль – 0. Место нуля называется серединой. Она на равном расстоянии от смежных чисел: 36 и 18. Если половины 18-ти удалять из них, то в середине снова нуль, а слева – 18 и справа нуль (00). Значит мы уверены, что четное на середине, если двигаться в разные стороны. Здравый смысл нас не подвел. Тогда можно проверить еще одно предположение о числах, третье. Соединим крайние нечеты и поделим пополам на две равные половины. Т. е. 27 и 09 составят 36, у которого середина 18-ть как было написано сразу между ними, а половин две 18 и 18. Говоря по-другому, в трех смежных всегда есть три одинаковых числа 18, 18, 18, которые вместе равны трем другим: 27, 18, 09, т. е. 54 в 6-м ряду (в 5-м ряду 45).

Серединное число назовем местным, ибо это его место, левое – приписанное, ибо оно с половиной местного числа, правое – расчетное, ибо оно без половины местного (с учетом право-левой записи). Можно взять тройки чисел первого ряда и попросить детей определить их отношения. В математике оно носит название “свойство быть в рекуррентных отношениях”. Операцию по выполнению алгоритма можно упростить, сказав: “сделайте два шага вперед и шаг назад.

И мы окажемся на полпути”. Проверим это на трех числах: 11, 22, 33. Половина двух крайних чисел – 22. Можно сказать по-другому: “Число 4-го ряда и число 2-го ряда объединить. Полученное, если оно было четным, есть его половина в 3-м ряду: 36–24–12 и 39–26–13”. Легко замечается дву- и трехкратное увеличение.

Начнем подъем из 2-го ряда от 11. Два шага – 33, шаг назад – 22. Два шага по 11 шагов (интервал) – 44, шаг назад – 33, два шага – 55, назад – 44. Вперед 66, назад 55. Вперед 77, назад – 66. Вперед два шага и назад один – это 88. Вперед – 110, назад 99. Сто десять – 11-й ряд, 99 – 10 ряд, 90 – 9 ряд. Середина 110 и 90 будет 100 (сто), т. е. конец 10-го ряда. Возникает вопрос о началах рядов 120, 130 и 140. Таким образом, мы расширяем сетку чисел, действуя прогностически.

Профессионализм математика в освоении цифровой записи в том, что им сохраняется в своем деле здравый смысл. Чувство своих границ – в этом вся мудрость. Если выражать общепринятый смысл, то надо не смотреть дальше своего носа, а точнее показать свою самоуверенность в границах нашей ограниченности. Если мы освоились с сеткой чисел до 10-го ряда, то можем ее дописать на еще одном листе в клетку. Такая уверенность в записи чисел позволяет ее проверить при чтении таблицы с числами “Улица домов”. Она есть в книге “Понимание грамотности”, а ее копия в материалах к ней. Это новый поворот в построении разговорно-письменной речи детей, в придании ей самостоятельности. А еще и уход от чисел “1-го десятка во 2-й и 3-й ряды”.

И в детском саду, и в школе с 7-летками была проверена эффективность такой работы. Ребенку работа с номерами этажей и квартир создает нужную достоверность. И в “Улице домов” дети смогут увидеть такой путь комбинирования чисел, который укрепит их доверие к новой числовой лексике. Итогом ее усвоения станет большая заинтересованность детей во вслушивании в темп речи о знакомых числах. И в качестве домашней работы они строят ряды чисел для дома N 32 и N 33.

Именно так строится материал, который держит на себе и содержит устную и письменную знаковую информацию. Это то средство, что снижает у приобщившихся к ней неопределенность в восприятии ситуаций учебного типа. Разум человека позволяет ему что-то ПОД-РАЗУМ-ЕВАТЬ. И тайну подразумеваемого обозначать и числами в сетке чисел, и знаками слогов – ручными, а потом их же вписывать в строчку (ки) как координаты письменной буквенной речи. Уголки задают метрику расположения букв в строке. Жест участвует в создании информационного поля раньше появления всего набора особых знаков-уголков. Он раскрывает смысл размерности и направления написания линий и их интерпретацию как “гласных и согласных” в разных типах слогов.

Язык, которым описывается форма написания и цифр, и “уголков” разного вида, общий, единый в работе со спицами и шнуром при набирании петель, и в работе с мелом и “мокрым карандашом”, и роль фломастера со стиралкой при прорисовке и прописывании структур слов по слогам. Эти орудия труда – пособия – из области освоения культуры физического движения. Движения же предстают как образы наблюдаемых явлений, по которым можно предсказать с большой степенью вероятности, что какое-то позитивное знание введено в обиход. Это знание определяют как симптом.

Симптоматические знания свидетельствуют о состоянии изучаемого объекта. Представлены они в культуре не как знания о фактах, а как ИМПЛИКАЦИЯ (включение): когда одно наблюдаемое явление по времени предшествует другому, что позволяет его предсказать (предусмотреть) с большой степенью вероятности его появления. Таковы в устной речи фольклорные погодные приметы. В культуре движений – их качества, обеспечивающие удачи его исполнителям. По уголкам и цифрам можно прочесть то, на что намекает ситуация, если не забывать условия, которые предполагаются в (к) этой ситуации.

Групповое наблюдение позволяет уменьшить нагрузку на каждого члена группы. Признав за группой ее имя, мы включаем ее в разговорный процесс. Теперь она отличает себя признанной другими группами той общественной роли и тем лицом, которые они себе и другим представили. Внутри групп сохраняется разнообразие придуманное, воображаемое и выражаемое ими же. Побыть вместе – значит побыть кем-то, а для кого-то из них и просто быть, быть сейчас, в тот период времени, на миг общей жизни со своим неоднообразием. Если единообразие для всех, то чем объем (не состав) больше, тем больше толпа под видом группы. Помним, что самая жесткая группа – это пара. А три пары собеседников в каждой из этой – тоже пара. А три пары собеседников в каждой из трех-пяти групп класса – это сообщество ровесников.