Постановка проблемы. В настоящее время одним из перспективных подходов к математическому развитию ребенка является ориентация на математическое моделирование, с помощью которого дети активно овладевают построением и использованием разного рода предметных, графических и мысленных моделей. Осуществляя поиск эффективных средств математического моделирования с дошкольниками, важно учитывать положения А.В. Белошистой, Ж. Пиаже, А.А. Столяра, Т.В. Тарунтаевой о специфике интеллектуального развития детей, генезисе числа у ребенка, амплификации математического развития; исследования Л.С. Выготского, Л.В. Занкова о связи обучения и развития; утверждения С.Л. Рубинштейна о качестве процессов анализа, синтеза и генерации как ядре общих интеллектуальных способностей; указания Л.А. Венгера, Я.А. Пономарева о формировании внутреннего плана действий в ходе математического развития детей 5–7 лет.

Цель статьи — познакомить педагогов с технологиями математического моделирования с дошкольниками.

Анализ последних исследований и публикаций. Под математическим моделированием с дошкольниками мы понимаем организацию педагогом эвристически ориентированного процесса создания ребенком моделей посредством простейших плоскостных и пространственных математических абстракций. С этой точки зрения, технологии математического моделирования с дошкольниками можно разделить на виды в соответствии с авторскими подходами исследователей заявленной проблематики.

Так, в соответствии с подходом З.А. Михайловой, технологии можно классифицировать по логике действий, выделяя математические развлечения; математические (логические) игры, задачи, упражнения; дидактические игры и упражнения. Технологии, описанные Б.П. Никитиным, можно классифицировать по уровню продуктивности умственного развития на основанные на подражании и основанные на эвристическом познании закономерностей моделей.

Мы классифицируем технологии математического моделирования с дошкольниками следующим образом.

1. По теоретико-множественному смыслу:

• технологии нахождения целого заданной инвариантной формы как объединения различных серий классов его разбиения;
• технологии нахождения целого дискретно меняющейся формы как объединения константных классов разбиения заданной исходной формы.

1. По пространственной ориентации:

• технологии плоскостного моделирования на базе разрезания прямоугольника;
• технологии пространственного моделирования на базе разрезания прямоугольного параллелепипеда;
• технологии пространственного моделирования на базе материалов, допускающих непрерывные деформации;
• технологии пространственного моделирования на базе оригами.

Последняя группа технологий весьма привлекательна, так как особенность игровых материалов для них состоит в неограниченных комбинаторных возможностях, кроющихся в обычном листе бумаги. Если считать, что идеальный интеллектуальный конструктор должен состоять из одной детали, с помощью которой создается бесконечное разнообразие форм, то оригами — именно такой конструктор.

Классическое оригами не допускает разрезов, склеиваний, тем не менее, на основе простого складывания, минимального склеивания и разрезания можно смоделировать с дошкольниками интересные и полезные математические “игрушки” — флексагоны.

Флексагон — “гнущийся многоугольник” — одна из простейших математических абстракций. В его основе лежат сенсорные эталоны формы, при правильной сборке флексагон содержит “скрытые” поверхности. Первый флексагон был изобретен в 1939 году двадцатитрехлетним студентом, англичанином Артуром Стоуном. Приведем схему для моделирования тритетрафлексагона (три поверхности, из которых одна скрыта; в качестве эталона формы в развертке используется квадрат).

Как видим, сделать развертку и раскрасить ее, как показано на рис. A и A', достаточно легко. Помощь взрослого может потребоваться дошкольнику при сгибании развертки и совмещении ее концов так, как показано на рис. B, C, D. Если сложить получившийся квадрат вдоль вертикальной средней линии, то он раскроется с другой стороны.

Приведем схему для моделирования гексагексафлексагона (шесть поверхностей, из которых четыре скрыты; в качестве эталона формы в развертке используется равносторонний треугольник).

Сделать развертку данного флексагона и раскрасить ее, как показано на рис. A и A' не просто, без помощи взрослого ребенку не обойтись. Затем нужно повернуть развертку к себе стороной, изображенной на рис. A и складывать по границам между 2-м и 3-м, 4-м и 5-м, 6-м и 7-м и т. д. треугольниками, начиная с левого конца, так, чтобы получилась фигура, изображенная на рис. B. Получившуюся фигуру сложить, как показано на рис. C и D. Проследить за тем, чтобы стороны получающегося шестиугольника были одноцветными. Совместить и склеить поверхности, помеченные *.

Далее большим и указательным пальцами правой руки нужно сложить полученный шестиугольник пополам вдоль одной из диагоналей, при этом указательным пальцем левой руки вогнуть противоположный угол внутрь. Должна получиться фигура, состоящая из трех треугольников с общей стороной (“ракета”, как называют ее дети). Раскрыв ее, вы увидите одну из скрытых сторон флексагона. По нашим наблюдениям, старшие дошкольники осваивают эту операцию легко, многократно повторяют, совершенствуя мелкую моторику.

Имеет смысл рассмотреть еще один вид флексагона — тригексафлексагон (три поверхности, одна скрытая; в качестве эталона формы в развертке используется равносторонний треугольник). Его развертка представлена на рисунке В для гексагексафлексагона, а этапы сборки изображены на рисунках С и D. Этот флексагон доступен дошкольникам 5–7 лет для самостоятельного моделирования, так как его развертка проста, а схема сборки частично дублирует сборку гексагексафлексагона.

Внимательный анализ разверток флексагонов позволяет выявить их развивающий математический потенциал для дошкольников. С нашей точки зрения, флексагоны как средство математического моделирования имеют следующие отличительные черты:

1)  Экономичность: для изготовления флексагонов нужны бумага, клей, ножницы и эталоны форм.

2)  Доступность: при минимальной помощи взрослого ребенок не только находит скрытые поверхности флексагона, но и моделирует флексагоны по готовой развертке. При этом игровая и поисковая задачи доминируют, а усвоение и закрепление программных умений и навыков по элементарной математике становится смотивированным и активным.

3)  Многоплановый развивающий характер: флексагоны способствуют развитию мелкой моторики, пространственного воображения, памяти, внимания, терпения; при специально продуманной раскраске активизируют формирование представлений по всем разделам математики для дошкольников.

Результаты собственных исследований. Для определения эффективности флексагонов как средства математического моделирования под руководством автора статьи студентами и выпускниками психолого-педагогического факультета Смоленского государственного университета были проведены серии опытно-экспериментальных занятий с детьми 5–7 лет на базе дошкольных образовательных учреждений г. Смоленска.

На начальном этапе — первые 2 занятия — использовались разноцветные гексагексафлексагоны. Дети открывали для себя новую “игрушку”, изучали ее свойства на готовых моделях и структуру на их развертках.

Третье занятие было посвящено репродуктивному моделированию гексагексафлексагона по готовой развертке.

Четвертое занятие заключалось в организации самостоятельного моделирования детьми тригексафлексагона по схеме с использованием готовой развертки. Данный флексагон имеет простую развертку и сходные с гексагексафлексагоном свойствами, поэтому дети успешно справились с его сборкой. При этом развертки, предложенные дошкольникам, имели специальное оформление — “математическую начинку” — для формирования представлений по основным разделам дошкольной математики.

На пятом занятии вводился тритетрафлексагон, свойства которого отличны от свойств двух предыдущих. Он самостоятельно изготовлялся детьми по готовой развертке и изучался в групповой работе с использованием логико-математических игр типа “Четвертый — лишний”, и в индивидуальной работе с гиперактивными детьми.

На последующих занятиях происходило активное закрепление навыков классификации и сериации, количественного и порядкового счета; умений решать и составлять простые арифметические задачи, различать и анализировать структуру плоскостных геометрических фигур; представлений о временах года, особенностях циферблата часов с помощью трех видов флексагонов.

Анализируя проведенные занятия, следует отметить, что эффект “фокуса” при внесении флексагона вызывал стойкий интерес детей, создавал мотивацию на несколько занятий вперед. Поисковая  деятельность детей мотивировалась и интересом родителей к математическим головоломкам, смоделированным и показанным детьми, и разнообразием вариантов “математической начинки” флексагонов.

Мы впервые в своей практике использовали флексагоны в математическом развитии детей, поэтому обращали внимание на их эффективность в разных разделах математики для дошкольников. В результате можем констатировать, что наиболее эффективны флексагоны при формировании умений задавать конечные множества характеристическим свойством, различать порядковый и количественный смысл натурального числа, решать и составлять простые арифметические задачи.

Проведенная опытно-экспериментальная работа, теоретическое моделирование и анализ математической сущности флексагонов позволяют сформулировать следующие методические рекомендации для педагогов дошкольных учреждений.

Начиная занятие по знакомству детей с флексагоном, советуем параллельно вести закрепление различения цветов, их оттенков, так как в группу детского сада вносятся разноцветные флексагоны.

Для младших дошкольников флексагоны могут при правильной сборке составлять какой-либо предмет, соответствующий фону (помидор, цветок, клубника — на одной стороне флексагона, красный цвет — на другой). Собрать силуэт предмета можно одним способом,  получить однотонную сторону — двумя, поэтому, когда ребенок действует с флексагоном, он невольно усложняет себе познавательную задачу, что стимулирует развитие моторики, мышления и получение положительного эмоционального заряда.

Старшим дошкольникам можно предлагать собирать гексагексафлексагоны по цвету. Например: каждая сторона гексагексафлексагона может состоять из шести треугольников дополнительных цветов, отличающихся на 1–3 тона от основного цвета. Данное упражнение рекомендуем использовать для развития мелкой моторики и стимулирования интеллектуальной активности детей.

Следует обратить внимание на следующие аспекты использования флексагонов с дошкольниками на занятиях по математике.

Во-первых, как средство порядкового и количественного счета. С помощью флексагонов можно знакомить детей с составом числа из единиц; отношениями “больше”, “меньше” и др.; цифрами; учить составлять и решать простые и косвенные арифметические задачи. Для этого воспитателем используются разнообразные раскраски сторон флексагона, учитывающие интересы детей конкретной группы.

Во-вторых, в разделе геометрические фигуры — знакомить детей с треугольником, кругом, эллипсом, квадратом, прямоугольником, четырехугольниками как классом фигур и т. д. Флексагоны помогут находить сходства и различия фигур, производить их классификацию.

В-третьих, флексагоны хороши для освоения детьми понятия “время”. Можно с их помощью показать циферблат часов, удобно показать сезонные явления, дни недели, месяцы.

Такие разделы дошкольной математики, как “величина” и “пространство” можно изучать, интегрируя в раскраске флексагонов логико-математические упражнения с задачами других частных методик. Например: для организации словарной работы, необходимой для грамотного математического развития, на все поверхности флексагона наносим изображения предметов по темам: посуда, мебель, одежда, транспорт, профессии, игрушки, семья, животные и т. п. Предлагаем задания на классификацию, обобщение и одновременно используем флексагоны для развития звуковой культуры речи. Каждое изображенное животное или предмет может ассоциироваться с определенным звуком или звукосочетанием. При этом дети могут сами проводить фонетические тренировки. Педагог разворачивает флексагон нужной стороной и предлагает детям произнести такой звук и найти такое же изображение на своих флексагонах. Данный вид работы развивает у ребят еще и общие учебные навыки.

На занятиях по ознакомлению с окружающим и экологии также есть возможность использовать флексагоны как средство развития познавательной сферы дошкольников, обеспечивающей успешность освоения элементарных математических представлений. Например: на грани флексагона можно нанести те знаки, которые будут регламентировать правила поведения детей в природе. На флексагоне можно изобразить разломанные экологические цепочки, затем предложить детям найти скрытую сторону флексагона с верной последовательностью в цепочке. Флексагон можно использовать при знакомстве детей с понятиями “ярусность”, “экосистема” и другими.

В познавательной деятельности мы предлагаем использовать флексагон для тренировки правил поведения, как на улице, так и в гостях, на природе, в детском саду.

Отметим, что если педагог решил использовать флексагоны в своей работе, то имеет смысл познакомить родителей с этой “игрушкой”, научить их составлять развертки и моделировать простейшие флексагоны. Если увлекутся родители, то усилится и мотивация детей.

Использование рассмотренных нами видов флексагонов как средства математического развития ребенка показало их эффективность для решения проблемы гармонизации аффекта и интеллекта, что, в свою очередь, позволяет решать широкий спектр задач, требующих высокого уровня обобщения без классической формализации. При этом процесс развития сенсорики, интеллектуальной культуры и творческой активности сопровождается положительными эмоциями детей за счет вариантов “познавательной” раскраски флексагонов.

Приведем примеры разработанных и апробированных нами многоуровневых логико-математических игр с флексагонами.

Игра “Веселый многоугольник” с гексагексафлексагоном

Оборудование: разноцветные гексагексафлексагоны.

Цели и задачи.

1 этап. Познакомить со свойствами флексагона: изменяться по цвету, форме.

2 этап. Расширять представление о свойствах флексагона. Развивать умение моделировать сенсорные эталоны форм, называть их (равнобедренный треугольник, трапеция, ромб и др.), называть геометрические фигуры, из которых можно построить половину, третью и шестую часть флексагона. Закреплять навыки счета.

3 этап. Продолжать формировать понятие симметрии.

РЕАЛИЗАЦИЯ

1 этап

1)  При ознакомлении с флексагоном использовать прием проблемной ситуации: персонажем получен волшебный подарок, что с ним делать — не известно; поможем персонажу.

2)  Детям предлагается рассказать, во что с флексагоном можно играть. Уточняется, к какому классу можно отнести эту фигуру.

3)  Воспитатель “случайно” складывает флексагон так, что он раскрывается. Детям дается время поэкспериментировать с флексагоном.

2 этап

1)  Детям дается несколько минут для припоминания свойств флексагона. Как называется эта фигура? Чем отличается от обычного шестиугольника? Сколько имеет сторон, вершин, углов?

2)  Предлагается сложить флексагон пополам. Назвать получившуюся фигуру, сосчитать углы, назвать фигуры, из которых состоит трапеция (треугольник, ромб). Детям 5-ти лет предлагается выложить трапецию из реальных геометрических фигур, более старшим детям — только назвать их.

3)  Предлагается самостоятельно сложить ромб, сосчитать углы; раскрыть флексагон и рассказать о нем.

3 этап

1)  Вспомнить с детьми, что такое ось симметрии. Предложить показать и сосчитать количество осей симметрии у флексагона. Показать их.

2)  Исследовательская задача: если вывернуть флексагон, изменится ли количество осей симметрии? Почему?

3)  Задача. Сложите флексагон пополам. Сколько одинаковых фигур получилось? Какие это фигуры? Сколько у каждой фигуры углов? Сколько углов будет у 2-х трапеций, составляющих плоскость флексагона? А сколько углов у флексагона?

Игра “Двенадцать” с тригексафлексагоном

Оборудование: тригексафлексагон на каждого ребенка. Первая плоскость флексагона — числа от 1 до 12; вторая — месяцы; третья — циферблат часов. Две часовые стрелки, большая и маленькая.

Цели и задачи.

1 этап. Познакомить со свойствами тригексафлексагона. Закрепить навык прямого и обратного счета в пределах 12.

2 этап. Расширять представления о временах года, сезонах и сезонных явлениях, цикличности сезонных явлений и названии месяцев.

3 этап. Дать представления о временном промежутке (минута, секунда).

4 этап. Активизировать знания о цикличности временных процессов; продолжать знакомить с циферблатом часов, функциями часовых стрелок.

Проведение

1 этап. Детям дается несколько минут, чтобы они рассмотрели и поиграли с флексагонами. Первая плоскость рабочая. Дети считают до 12 в прямом и обратном порядке, затем считают от заданного числа. Выворачивают флексагон, считают по памяти, проверяют результат.

2 этап. Повторить название месяцев. Дети находят поверхность флексагона, которая наиболее подходит для этого. Каждому сезону принадлежит поле определенного оттенка. Дети несколько раз повторяют названия месяцев, ведя пальчиком от одного к другому, темп ускоряется. Педагог, а затем кто-либо из детей называет сезон, другие дети — месяцы, и наоборот.

3 этап. Детям показывают секундомер. Знакомят с временным отрезком — секундой. Сколько времени понадобится для того, чтобы найти скрытую сторону флексагона, полностью вывернуть флексагон? Вызывается ребенок, который засекает время. Далее дети считают пятками до 60. Педагог показывает, как на циферблате отмечают минуты. Дети тренируются называть минуты с использованием поверхности флексагона с циферблатом.

4 этап. Детям предлагается вспомнить, о чем они узнали на прошлом занятии (повторить последний пункт 3-го этапа). Далее предлагается найти плоскость флексагона, которую можно использовать как часы. Дети показывают заданное значение времени по команде воспитателя.

Игра “Утро–день–вечер–ночь” с тритетрафлексагоном

Оборудование: тритетрафлексагон со светлой (утро), темной (ночь) и скрытой, окрашенной двумя цветами (день, вечер), сторонами.

Цели и задачи: уточнение, закрепление и конкретизация понятия “сутки” через подход “часть–целое”.

Проведение

Сначала педагог, затем каждый из детей, раскладывая флексагон, называет последовательность частей суток (скрытая сторона флексагона отыскивается и складывается по горизонтальной оси симметрии, один из получившихся прямоугольников соответствует понятию “день”, другой — “вечер”). При выполнении задания закрепляется понятие “ось симметрии” и ведется развитие связной речи детей с помощью ответов на вопросы типа: “Что ты (твои родители, друзья, домашние животные) делаешь в это время суток?”.

Вывод. Использование флексагонов в развитии элементарных математических представлений детей — глубоко творческий процесс, диалектично сочетающий единство созидания и отрицания. Поэтому, проектируя авторскую локальную методику использования флексагонов, педагог, прежде всего, должен глубоко изучить имеющиеся теоретические и практические наработки по интересующей проблематике, учесть специфику детей своей группы, и только на этой базе создавать новшества.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Афонькин С. Игры и фокусы с бумагой / С. Афонькин, Е. Афонькина. — М.: Рольф, АКИМ, 1999. — С. 12–67.
2. Белошистая А.В. Формирование и развитие математических способностей дошкольников: Вопросы теории и практики: Курс лекций. — М.: ВЛАДОС, 2003. — С. 11–77.
3. Игры и развлечения: Кн. 3 / Сост. Л.М. Фирсова. — М.: Мол. Гвардия, 1991.
4. Михайлова З.А. Игровые занимательные задачи для дошкольников. — М.: Просвещение, 1990.
5. Никитин Б.П. Ступеньки творчества или развивающие игры. — М.: Просвещение, 1991.
6. Оригами и педагогика: Материалы первой Всероссийской конференции преподавателей оригами. — СПб., 1996.
7. Репина Г.А. Технологии математического моделирования с дошкольниками. — Смоленск, 1999.
8. Репина Г.А. Перспективные подходы к математическому развитию ребенка. — Смоленск, 2000.
9. 365 развивающих игр / Сост. Е.А. Беляков. — М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.

РЕЗЮМЕ

В статье предложен авторский подход к использованию эффективных средств математического моделирования с дошкольниками, рассмотрены варианты работы и приемы.

Ключевые слова: моделирование, технологии, внутренний план действий.

RESUME

In the article offered author approach to the use of effective facilities of mathematical design with under-fives, the variants of work and receptions are considered.

Keywords: design, technologies, internal plan of actions.