Постановка проблемы. В журнале “Дошкільна освіта” N 4 (18) за 2007 мы обращались к тематике математического моделирования применительно к дошкольному возрасту, рассматривая флексагоны как эффективное средство логико-математического развития ребенка. Понимая под математическим моделированием с детьми 6-7 лет организацию педагогом эвристически ориентированного процесса создания ребенком моделей из простейших плоскостных и пространственных математических абстракций, мы подчеркиваем тот факт, что моделирование является:

• ступенью для развития конструкторских навыков детей;
• основой для творческого процесса модификации исходной модели на более высоком логико-схематическом уровне [6, С. 6].

Анализ исследований и публикаций. Как отмечает Е. Соловьева, в младшем дошкольном возрасте, от 1,5 до 3-4 лет в развитии ребенка на первый план выступает процесс образования собственной цели деятельности. В среднем возрасте, от 3-4 до 5 лет, — процесс активного овладения различными способами деятельности. После 4 лет деятельность ребенка приобретает направленность на конечный результат, после 4,5 лет отмечается скачок интереса детей к разнообразной познавательной информации — буквам, цифрам, сенсорным эталонам, чтению. В старшем возрасте, 5-7 лет, ребенок учится давать оценку полученному результату, сравнивая его с эталоном, представленным в форме наглядного изображения или реального образца. Дошкольник осуществляет достаточно произвольный контроль за ходом деятельности в процессе получения промежуточных результатов, он заинтересован в реальном результате, который может оценить сам, соотнося его с эталоном [9, С. 2-8].

С этих позиций процесс математического моделирования с детьми позволяет проследить логику развития познавательных способностей ребенка: овладение навыками непосредственного замещения частей схем моделей реальными предметами в младшем возрасте; освоение действий по использованию готовых моделей в среднем возрасте; усвоение действий по самостоятельному построению моделей по схемам и конструированию новых моделей и их схем в старшем возрасте.

Как показывают исследования Л.А. Венгера, З.А. Михайловой, Б.П. Никитина, Н.Н. Поддьякова и других ученых, знание логики развития познавательных способностей ребенка позволяет педагогу за действиями детей в ходе моделирования и конструирования видеть определенный этап их развития, давать качественный анализ детской деятельности, стимулирующий к поиску новых форм, методов, приемов, материалов для дальнейшего успешного математического моделирования.

По мнению А. Давидчук, моделирование — важная часть умственного воспитания детей, направленная на развитие их познавательных способностей [1, С. 75]. Для развития познавательных способностей, подчеркивает Е. Пороцкая, дошкольное детство является сензитивным периодом.

При этом первая ступень познания мира — восприятие, так как на основе его образов строятся память, мышление, воображение. Для игры, рисования, моделирования, конструирования ребенку необходим учет внешних качеств предмета. Сенсорные способности, проявляющиеся в области восприятия предметов и их свойств, являются фундаментом умственного развития ребенка и начинают интенсивно развиваться уже в 3-4 года. В основе процесса развития сенсорных способностей лежит освоение ребенком сенсорных эталонов и освоение перцептивных действий. Сенсорные эталоны — общепринятые образцы внешних свойств воспринимаемых объектов (цвет — семь цветов спектра, форма — простейшие плоскостные и пространственные геометрические фигуры,  величина — метрическая система мер). Перцептивные действия относятся к группе ориентировочных, они всегда направлены на обследование предмета.

В контексте математического моделирования с дошкольниками важно, что существует три вида действий по использованию сенсорных эталонов: действия идентификации (установления тождества какого-либо качества воспринимаемого объекта эталону); действия по соотнесению предмета с эталоном (они не решаются простым наложением); действия перцептивного моделирования (представляют собой воссоздание воспринимаемого качества из материала эталона). Указанные действия сначала совершаются во внешнем плане: дети прикладывают, накладывают предметы друг на друга, обводят пальцем. В дальнейшем эти действия переходят во внутренний план, совершаются и совершенствуются “в уме”.

Кроме сенсорных способностей, в структуру умственного развития дошкольника входят интеллектуальные способности, необходимые для решения различных задач, то есть связанные с мышлением. В основе развития интеллектуальных способностей детей дошкольного возраста лежат действия наглядного моделирования. Их три типа: действия замещения (в младшем и среднем возрасте — реальные предметы, в старшем возрасте — условные обозначения); действия по использованию готовых моделей (модель дает взрослый, ребенок с ее помощью решает интеллектуальную задачу); действия детей по построению моделей [2, С. 45–46].

На протяжении дошкольного детства интенсивно развиваются творческие способности, связанные с воображением, направленным на решение определенной задачи. Воображение продуктивно, расширяет действительность, опредмечивает ее; у детей с высоким уровнем воображения продукты оригинальны. В рамках технологий математического  моделирования формирование творческих способностей детей опирается на действия символизации и детализации, обогащающие продукты их творчества.

Итак, процесс развития познавательных способностей дошкольника в рамках математического моделирования можно рассматривать в логике, представленной в следующей таблице.

По нашему мнению, процесс математического моделирования с детьми основан на применении плоскостных, пространственных, топологических технологий, разработанных на основе логико-математических игр, математических головоломок, конструкторских игр. При этом важным фактором эффективности математического моделирования с детьми является наличие преемственной связи в развитии навыков математического моделирования в дошкольном образовательном учреждении и начальной школе [7, С. 28].

Сущность преемственности в развитии навыков детей по математическому моделированию трактуется нами как организация целостного процесса, в ходе которого потребности детей к овладению навыками моделирования осуществляются посредством физиологически и психологически обоснованных форм и методов, направленных на перспективное формирование творческих кострукторских способностей ребенка с опорой на его предыдущий опыт и знания о моделировании.

Анализ задач по развитию конструкторских способностей и математических представлений детей, согласно ныне действующим программам, позволяет выделить задачи развития навыков моделирования, в частности математического. Непрерывность развития навыков математического моделирования в ДОУ и начальной школе обусловливается наличием в программах для образовательных учреждений преемственно связанных целей и задач по развитию мыслительных способностей детей.

Так, согласно традиционной Программе воспитания и обучения в детском саду, к концу подготовительной группы дети должны уметь: видеть конструкцию предмета и анализировать ее с учетом практического назначения;  сооружать различные конструкции предмета в соответствии с условиями его использования; создавать по рисунку  и словесной инструкции модели из пластмассового и деревянного конструкторов; соотносить цифру и число предметов; составлять из нескольких треугольников, четырехугольников фигуры большего размера; делить квадрат на 2 и 4 равные части; ориентироваться на листе клетчатой бумаги.

Указанная программа преемственно связана с базовой программой для начальной школы, предусматривающей, что к концу начальной школы дети должны уметь: распознавать и изображать на бумаге с помощью линейки треугольник, четырехугольник; строить на клетчатой бумаге прямой угол, прямоугольник, квадрат, трапецию; составлять геометрические мозаики, орнаменты как элементы графического математического моделирования [5, С. 117–118].

Согласно программе “Радуга” (рук. Т.Н. Доронова) шести–семилетние дети должны: уметь использовать понятия “равно — не равно”, “больше — меньше”; владеть практическими способами сравнения (приложение); различать понятия круг, треугольник, квадрат, прямоугольник, шар, куб; иметь представление о действии деления; осуществлять сериацию.

В результате развивающей работы по формированию математических представлений дети могут иметь понятие: о делении на 2, 3, 4, 6, 8 равных частей; о геометрических преобразованиях (сдвиг, поворот, подобие), видах симметрии; могут различать понятия луч, угол, виды углов, выпуклые и вогнутые многоугольники, понимать, что значит “внутри”, “снаружи”, “на границе”.

В плане развития навыков математического моделирования программу “Радуга” представляется возможным связать с “Курсом математики в начальных классах Н.Б. Истоминой, 1-3”. Он ориентирован на идеи развивающего обучения, предусматривает, кроме традиционных, следующие элементы математического моделирования: ознакомление детей с разверткой куба, призмы, пирамиды, конуса, цилиндра; умение выделять геометрические фигуры на чертеже, строить фигуру, симметричную данной относительно оси симметрии; узнавать и изображать точку, прямую, кривую, отрезок, ломаную, угол, квадрат, треугольник, многоугольник, куб.

Программа для ДОУ “Развитие”, основанная на положении А.В. Запорожца об амплификации развития — его обогащении наиболее значимыми для дошкольника формами и способами деятельности — и концепции Л.А. Венгера о развитии способностей ребенка, направлена на формирование умственных и художественных способностей детей. На основе усвоения сенсорных эталонов и действий с ними в младшем возрасте предполагается развитие способности к наглядному моделированию в среднем и старшем возрасте, и далее, в подготовительной группе, осуществление процесса интериоризации действий моделирования.

Согласно программе “Развитие”, к концу подготовительной группы дети могут: читать и составлять элементарные графические планы при ознакомлении с пространственными отношениями; использовать графические модели предметов при решении конструктивных задач; строить модели иконического и условного характера (числовая ось, модель звукового состава слова) по наличной ситуации и по собственному замыслу.

Прослеживается преемственная связь программы “Развитие” с интегрированным курсом “Математика и конструирование” (параллельная программа, авторы С.И. Волкова, О.Л. Пчелкина) и программами по математике и трудовому обучению по системе Л.В. Занкова [4]. Так, в результате изучения курса “Математика и конструирование” учащиеся должны: уметь конструировать модели плоскостных геометрических фигур, зарисовывать их на бумаге, конструировать объект по схематическому рисунку, по техническому чертежу, видоизменять и усовершенствовать его по заданному условию в результате обнаружения дефекта или несовершенства, контролировать правильность изготовления деталей конструкции и всей конструкции; иметь представление о простейших плоскостных и пространственных геометрических фигурах, уметь распознавать их в плоскостных и пространственных объектах.

В результате изучения курса математики (автор — И.И. Аргинская) учащиеся должны: иметь представление о простейших плоскостных и пространственных геометрических фигурах; о масштабе и его использовании для изображения слишком больших и слишком маленьких объектов, строить фигуры в заданном масштабе, самостоятельно выбирать масштаб для построения объекта, определять истинные размеры объекта по его изображению и масштабу и наоборот; определять периметр многоугольника, определять площади геометрических фигур, которые могут быть разбиты на прямоугольники и треугольники, при помощи таких разбиений; находить изученные плоскостные и объемные фигуры среди окружающих предметов; строить развертки прямой призмы, пирамиды, конуса, цилиндра.

Этот курс математики непосредственно связан с экспериментальной программой по трудовому обучению (автор — Н.А. Цирулик). Этой программой предусматривается выработка таких навыков математического моделирования, как: заполнение контура геометрическими фигурами, вырезанными из бумаги; плоскостное моделирование и конструирование из правильных геометрических форм (аппликация, мозаика); объемное моделирование и конструирование из готовых геометрических форм; создание технических моделей из одной емкости или путем соединения нескольких готовых форм; объемное моделирование и конструирование из бумаги; изготовление изделий на основе    объемных геометрических тел, созданных с помощью развертки; изготовление каркасов из проволоки; изготовление развивающих игр типа “Танграм”.

На программе “Одаренный ребенок” остановимся особо, так как ее главная задача — ввести в дошкольное обучение такие действия детей, которые в максимальной степени способствуют развитию их умственных способностей. Специальные психологические исследования Л.А. Венгера, О.М. Дьяченко показали, что таковыми являются действия по построению и использованию наглядных моделей, то есть таких видов изображения предметов, в которых выделены и представлены в обобщенном и схематическом виде основные отношения их компонентов, обозначенных при помощи условных заместителей [3, С. 7].

Основное внимание в программе уделяется занятиям, направленным на овладение детьми различными формами наглядного моделирования и символизации. В ходе занятий дети постепенно переходят от предметного моделирования объекта — собственно конструирования — к передаче в условной графической форме основных отношений в одном объекте или между объектами, т.е. наглядному моделированию и обобщенному пониманию математических отношений. В результате дети: моделируют отношения с помощью диаграмм Эйлера-Венна, решают конструкторские задания комбинаторного типа; решают конструкторские задачи, связанные с отработкой функциональных качеств объектов (устойчивость, скрытые детали постройки, пустоты).

Программа “Одаренный ребенок” преемственно связана с программой по математике для трехлетней и четырехлетней начальной школы Л.Г. Петерсон. Эта программа разработана под руководством Н.Я. Виленкина. Одна из основных ее задач — обучение школьников построению, исследованию и применению математических моделей окружающего их мира. То есть принцип моделирования — базисный принцип построения программы.

К концу начальной школы дети, обучающиеся по данной программе, могут уметь: изображать условия задач с помощью графических моделей; распознавать основные плоскостные и пространственные фигуры; сравнивать фигуры по раскраске; составлять фигуры из частей и разбивать их на части;   подсчитывать число клеток, треугольников и прямоугольников, на которые разбита фигура, изображенная на клетчатой бумаге; вычерчивать узоры из геометрических фигур; раскрашивать и перегибать фигуры; иметь понятие о преобразовании фигур на плоскости (симметрия, поворот, подобие), об объединении и пересечении фигур.

Необходимо учитывать, что эффективность осуществления преемственности в формировании навыков математического моделирования между ДОУ и начальной школой обусловливается психолого-педагогической обоснованностью содержания, форм и методов этой деятельности детей.

Результаты исследований. Приведем далее разработанные и апробированные нами типы задач, которые могут решить учащиеся начальной школы на базе развития навыков математического моделирования в дошкольном возрасте [8, С. 8-9].

А) 1. Определить, из каких простейших геометрических фигур состоит изображенная на чертеже фигура; сколько в ее составе прямоугольников (3), треугольников (3), кругов (1), квадратов (1), эллипсов (2).

2. Построить орнамент из известных вам геометрических фигур.

Б) 1. Определить, имеют ли плоские узоры оси симметрии.

В данном примере одну ось симметрии имеет узор, расположенный справа.

2. Построить фигуру симметричную данной относительно заданной оси симметрии (например: на клетчатом листе бумаги с помощью любого набора геометрических фигур методом обведения карандашом).

В) 1. Определить, во сколько раз площадь одной фигуры больше площади другой фигуры, с помощью разбиения обеих фигур на равные многоугольники (в данном примере — в 2,5 раза).

2. Построить развертку заданной композиции 2-х объемных геометрических фигур (кроме конуса, цилиндра).

В данном примере построена развертка композиции куба и пирамиды, причем размер грани куба совпадает с размером основания пирамиды.

Г) 1. Определить: являются ли данные фигуры одинаковыми, имеют ли ось симметрии, из каких геометрических фигур они состоят и есть ли среди этих фигур равные.

2. Заполнить плоскостной контур (объемную коробку) с помощью заданного набора геометрических фигур (различными способами).

Предложенные типы задач составлены нами на основе анализа преемственной связи указанных выше образовательных программ для детского сада и начальной школы и многолетних наблюдений за процессом математического моделирования со старшими дошкольниками.

Рассмотренные задачи могут служить диагностическими ориентирами, выявляющими высокий уровень развития логико-математических представлений старших дошкольников.

ЛИТЕРАТУРА

1. Давидчук А. Дошкольный возраст: развитие элементарных математических представлений // Дошкольное воспитание. — 1996. — N 12. — С. 71–77.
2. Пороцкая Е. Дошкольный возраст: основные этапы развития познавательных способностей // Дошкольное воспитание. — 1995. — N 2. — С. 42–47.
3. Программа “Одаренный ребенок”: основные положения. — М.: Новая школа, 1995.
4. Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (1-3) по системе Л.В. Занкова. — М.: Просвещение, 2000.
5. Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (1-4, 1-3). — М.: Просвещение, 2000.
6. Репина Г.А. Технологии математического моделирования с дошкольниками. — Смоленск, 1999.
7. Репина Г.А. Перспективные подходы к математическому развитию ребенка. — Смоленск, 2000.
8. Репина Г.А. Математическое развитие дошкольников: Современные направления. — М.: ТЦ Сфера, 2008. — (Библиотека журнала “Воспитатель ДОУ”).
9. Соловьева Е. Развитие математических представлений и логических операций по программе “Радуга” // Дошкольное воспитание. — 1995. — N 2. — С. 2-8.

РЕЗЮМЕ

В статье рассматриваются педагогические основы преемственности между детским садом и школой в развитии навыков математического моделирования детей 6-7 лет. Приводятся типы задач, которые могут решить учащиеся начальной школы на базе развития навыков математического моделирования в дошкольном возрасте.

Ключевые слова: математическое моделирование, дети 6-7 лет, преемственность, типы задач.

RESUME

This article describes pedagogical fundamentals of succession between kindergarten and school in the field of development of skills of mathematical modeling. It also includes types of tasks which can be solved by primary school pupils who had acquired skills of mathematical modeling in a pre-school.

Keywords: mathematical modeling, children of 6 to 7, succession, types of tasks.