Мир математической культуры взрослого человека детерминирован умениями и навыками построения и использования тривиальных математических моделей. Понятие "модель" возникло в процессе опытного изучения мира (от лат. "modus", "modulus" – мера, образ, способ). С формально-логической точки зрения, модели являются предметом теории моделирования – взаимосвязанной совокупности положений, определений, методов и средств создания моделей. Теория моделирования является составляющей общей теории систем – системологии, в качестве главного принципа постулирующей осуществимые модели: система представима конечным множеством моделей, каждая из которых отражает определенную грань ее сущности. Вопросы моделирования рассмотрены в работах логико-философского плана с позиций использования моделей для изучения тех или иных свойств оригинала, или его преобразования, или замещения оригинала моделями в процессе какой-либо деятельности (И.Б. Новиков, Н.А. Уемов, В.А. Штоф и др.). С психолого-дидактической точки зрения, под моделью понимают систему объектов или знаков, воспроизводящую ряд существенных свойств системы-оригинала на основе поэтапно организованной дедукции или индукции, ведущей, возможно, к получению новой информации (П.Я. Гальперин, Л.В. Занков, Н.Ф. Талызына и др.). Подчеркивается, что наличие отношения гомоморфизма позволяет использовать модель в качестве заместителя или представителя изучаемой учебной или предметной области (С.И. Архангельский, В.В. Давыдов, Л.М. Фридман и др.).

Математической моделью, с формальной точки зрения, можно назвать любую совокупность элементов и связывающих их операций (Л.Д. Кудрявцев, И.Б. Новик, Г.И. Рузавин, В.А. Штоф и др.). Естественно, что интерес представляют математические модели, являющиеся изоморфным отображением реальных или реализуемых объектов, процессов и явлений. Математическое моделирование – приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Это мощный метод познания мира, прогнозирования, управления (Б.А. Глинский, Б.В. Гнеденко, Н.Ф. Овчинников и др.). Поиск, разработка и апробация материалов, оптимизирующих освоение ребенком представлений о логико-математических зависимостях посредством конструкторско-моделирующей деятельности, отличает педагогические взгляды ряда хорошо известных педагогов прошлого и современности. Речь идет о математических таблицах И.Г. Песталоцци, дарах Ф. Фребеля, "золотых материалах" М. Монтессори, логических блоках З. Дьенеша, палочках Х. Кюизенера, игровых материалах, рассмотренных З.А. Михайловой, развивающих играх, разработанных и адаптированных Б.П. Никитиным, кубиках и таблицах Н.А. Зайцева, пособиях Н.В. Петкевич и других материалах.

Теоретико-множественный анализ показывает, что большая часть из указанных материалов представляет собой простейшие плоскостные и пространственные математические абстракции – сенсорные эталоны формы или их композиции, – характеристические свойства которых связаны с разбиениями на части прямоугольника или прямоугольного параллелепипеда, проведенные по определенным алгоритмам. Вовлечение ребенка в открытие мира занимательной математики, скрываемого в рассматриваемых материалах, происходит посредством авторских дидактических игр, упражнений, попевок. Указанная педагогическая атрибутика визуализирует на итоговых моделях, получаемых ребенком в результате анализа исходных схем: отношения эквивалентности, порядка, взаимно однозначные соответствия между единичными элементами материалов между собой или между элементами материалов и внешним миром знакомых детям предметов. Таким образом, речь идет о предметной области математического моделирования с детьми. Эта область педагогического знания представляется актуальной для обогащения действующих методик умственного воспитания, математического развития ребенка в свете требований современных программ для детского сада и преемственно связанных с ними программ начальной школы. Применительно к возрастным особенностям детей 6-7 лет важно, что моделирование – это замещение одного объекта (оригинала) другим (моделью) и фиксация и изучение свойств модели. Замещение производится с целью упрощения, ускорения изучения свойств оригинала. Оригинал и модель сходны по одним параметрам и различны по другим. Замещение одного объекта другим правомерно, если интересующие исследователя характеристики оригинала и модели определяются однотипными подмножествами параметров и связаны одинаковыми зависимостями с этими параметрами (А.А. Самарский, А.П. Михайлов, Ч. Лейв, Дж. Марч, В.И. Юдович и др.). Модели, относящиеся к предметной области математического моделирования с детьми 6-7 лет, классификационно относимы к роду физических масштабных. Методологической основой масштабного моделирования является теория подобия. Масштабные модели могут использоваться для анализа вариантов компоновочных решений, наиболее рельефно визуализирующихся посредством персональных компьютеров.

Как известно, для составления математических моделей можно использовать широкий спектр математических средств – алгебраическое, дифференциальное, интегральное исчисления, теорию множеств, теорию алгоритмов и т.д. В предметной области математического моделирования с детьми 6-7 лет речь идет о предматематическом словаре, задаваемом теорией множеств, и схемах моделей, детализированных простейшими математическими абстракциями. В рамках широко известных классификаций В.А. Штофа, Л.М. Фридмана, речь идет о смешанных статических знаково-образных материальных моделях; согласно трактовкам Л.А. Венгера, Б.А. Глинского, – о сочетании структурно-функциональных и иконических моделей. Наиболее приемлема классификация по характеру моделей, в терминах которой речь идет о предметном моделировании (модель воспроизводит геометрические характеристики объекта), и знаковом моделировании (моделями служат знаковые образования – схемы, чертежи, графы, буквы, цифры). Визуализация логико-математических свойств и зависимостей в школьном и дошкольном образовании опирается на разнообразные модели предметных областей. Под моделированием, в данном случае, понимают обобщенное интеллектуальное умение детей заменять реальные объекты и отношения моделями в виде изображений образами, знаками, фишками-эквивалентами (А.В. Белошистая, И.Г. Обойщикова, Л.Г. Петерсон, А.А. Столяр, Т.В. Тарунтаева, Е.Е. Шулешко и др.).

Под математическим моделированием с детьми 6-7 лет мы понимаем организацию педагогом эвристически ориентированного процесса создания ребенком моделей посредством простейших плоскостных и пространственных математических абстракций (геометрических фигур и схем). Модели задаются словесным описанием, черно-белой или цветной схемой; схемы могут быть расчлененными (с изображением всех составных частей модели), частично расчлененными (с изображением нескольких составных частей модели) или нерасчлененными (контурными). Созданные модели анализируются с логико-математической точки зрения на доступном детям вербальном уровне, варьируются на творческом уровне. В результате, при учете определенных принципов организации процесса математического моделирования, может произойти активное развитие представлений ребенка о логических операциях классификации, сериации, конъюнкции, дизъюнкции, отрицании, импликации, закрепление и расширение представлений о числе, величине, геометрических фигурах.

Введение в активный научный оборот предметной области математического моделирования с детьми в последние годы актуализировано повышением доступности для семьи и детского сада персонального компьютера. Поэтому к актуальным и перспективным средствам для моделирования с детьми на плоскости мы относим электронные версии материалов, выполненные в технике автофигур и программируемого конструктора. Наши исследования и наблюдения позволили выделить следующие необходимые педагогические модули, системно описывающие процесс математического моделирования с детьми 6-7 лет: технологический, валеологический, диагностический и информационный. Технологический модуль включает разработанные и успешно апробированные посредством специальных занятий технологии математического моделирования. Они описываются на уровне принципов, общих алгоритмов, конспектов, планов-конспектов, планов занятий. Валеологический модуль задается эмоциогенным и здоровьесберегающим потенциалом тематических физминуток, составленных нами на основе контекстного рифмования. Диагностический модуль охватывает констатирующую и контрольную диагностические методики на плоскостных материалах; мониторинг развития навыков математического моделирования посредством электронной ведомости учета; логико-математические задачи для экспресс-диагностики уровня сформированности навыков математического моделирования детей. Информационный модуль связан с созданием электронных вариантов материалов для математического моделирования на плоскости и баз данных расчлененных схем моделей используемых материалов.

Процесс создания математических моделей акцентирован на развитии нравственных представлений детей (оказание помощи игровым персонажам, друг другу, родителям, окружающим людям) и выявлении их репрезентационных предпочтений (аудиальных, визуальных, кинестетических) в рассматриваемой предметной области.

Как известно, в возрасте 6-7 лет ребенок стремится не только подражать взрослым в их деятельности, но по мере сил участвовать в ней, правильно понимая конечные цели этой деятельности. Он учится давать оценку полученному результату, сравнивая его с эталоном, представленным в форме наглядного изображения или реального образца (Л.А. Венгер, О.М. Дьяченко, В.В. Зеньковский, Н.Н. Поддъяков и др.). С этих позиций процесс математического моделирования с детьми подчинен принципу учета логики развития познавательных способностей ребенка: в ходе математического моделирования на плоскости развитие познавательных способностей идет по следующим направлениям: овладение навыками непосредственного замещения частей схем моделей геометрическими фигурами или их композициями (работа по расчлененной схеме приемами наложения и зрительного соотнесения); освоение действий по анализу и усовершенствованию готовых моделей (работа по частично-расчлененной и нерасчлененной схеме приемами зрительного соотнесения и творческой верификации); усвоение действий по самостоятельному построению моделей по схемам (приемы конструирования новых моделей по словесному описанию и замыслу, приемы изображения схем моделей посредством обведения фигур карандашом или пополнения электронной базы данных).

Не менее значим принцип учета теоретико-множественного смысла материала для моделирования. В общем случае, теоретико-множественный смысл моделирования целого из частей на плоскости на базе разрезания прямоугольника может заключаться: в нахождении целого заданной инвариантной формы как объединения различных серий классов его разбиения (материалы типа "Сложи квадрат", "Рамки и вкладыши М. Монтессори" и др.); в нахождении целого дискретно меняющейся формы как объединения константных классов разбиения заданной исходной формы (материалы типа "Танграм", "Пифагор", "Пентамино" и др.).

Уровневая теоретико-множественная структура материалов для моделирования раскрывает творческому педагогу дидактические возможности, позволяющие каждому ребенку на занятиях по математическому моделированию доступно, наглядно, самостоятельно усваивать логико-математические представления в индивидуальном темпе с учетом зоны ближайшего развития.

Еще один важный принцип организации процесса математического моделирования с детьми 6-7 лет – создание на каждом занятии эвристической образовательной ситуации. Она описана А.В. Хуторским в следующей логической последовательности: создание образовательной напряженности, уточнение образовательного объекта, конкретизация задания, решение ситуации, демонстрация образовательной продукции, систематизация полученной продукции, работа с культурно-историческими аналогами, рефлексия. Полная или частичная ориентация на приведенную схему необходима на каждом занятии по математическому моделированию. Отвечающим вызовам современного информационного пространства при организации занятий по математическому моделированию следует считать принцип опоры на доступные дошкольнику электронные варианты материалов для моделирования. Таких вариантов два: самостоятельное выполнение педагогом электронных материалов для моделирования в технике автофигур и использование электронных конструкторов, написанных профессиональными программистами (авторских компьютерных сред).

В первом случае требуемый от педагога и детей пользовательский опыт минимален: движение по полосе прокрутки рабочего окна документа Microsoft Word (с использованием мыши, клавиш "вверх" – "вниз", и клавиш "Page Down" – "Page Up"), выделение, поворот, параллельный перенос автофигуры с помощью мыши; копирование и вставка автофигуры (клавиши "Сtrl"+"С", "Сtrl"+"V"). Во втором случае используется развернутая схема математического моделирования, требующая от педагога и ребенка ориентировки в запрограммированных клавишах авторской компьютерной среды: выбор фигуры-силуэта различной степени сложности из базы данных; эвристическое составление выбранной фигуры по нерасчлененной схеме (с учетом возможных комбинаторных вариантов и фактора времени); конструирование новых фигур для моделирования (с возможностью внесения удачных образцов в базу данных и автоматической оценкой их степени сложности).

Еще один принцип, реализации которого на занятиях по математическому моделированию необходимо уделять внимание, – это принцип превенции психического дискомфорта ребенка в ходе формирования логико-математических представлений. Разница детей в интересе и имеющихся способностях к математике и моделированию, уровне развития памяти, восприятия, логических операций может провоцировать виктимогенный или виктимный тип поведения. Первый проявляется демонстрацией завышенной самооценки, эмоциональной несдержанности, непрямой агрессии, второй выражается в снижении самооценки, потере интереса к моделированию в группе детей, формирование синдрома "неудачника".

Превенция такого рода психического дискомфорта предполагает: игровую форму занятий (внесение персонажей, которым нужно оказать помощь в построении моделей); использование похвалы при удачных действиях детей и авансирования успеха в случае неудачных решений поставленных задач; отслеживание и своевременную коррекцию индивидуальных траекторий движения детей в области математического моделирования (например с помощью электронной ведомости учета); гармоничное развитие аудиальной, визуальной и кинестетической репрезентаций детей (с помощью специальных приемов освоения моделирования); ограничение занятий по времени (не более 20 минут), интегрирование их с другими, более подвижными, занятиями, использование рифмовки с приемами самомассажа для переключения и снятия нервного возбуждения детей; использование тематических физминуток, составленных на основе рифмовок, упрощающих восприятие и запоминание логико-математического смысла материалов для плоскостного моделирования.

Учет охарактеризованных выше принципов приводит к научно обоснованному трансферированию знаний о математическом моделировании в дошкольную образовательную сферу, отвечающему вызовам современного информационно-ориентированного социума. Наш многолетний опыт разработки, апробации и использования технологий математического моделирования с детьми 6-7 лет показывает, что ориентация на раскрытые в данной статье педагогические принципы является значимым условием эффективного логико-математического развития современного ребенка. Наиболее наглядными для ребенка, простыми в изготовлении и компьютерном интерпретировании, значимыми с логико-математической точки зрения являются плоскостные игровые материалы типа "Танграм", "Пифагор", "Пентамино", "Рамки и вкладыши М. Монтессори" и "Сложи квадрат".